3、牛顿—莱布尼万博lol竞猜茨公式

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  第五章定积分 教学目的: 了解广义积分的概念并会计算广义积分。教学重点: 1、万博lol竞猜定积分的性质及定积分中值定理 2、定积分的换元积分法与分部积分法。 3、牛顿—莱布尼茨公式。 教学难点: 1、定积分的概念 2、积分中值定理 3、定积分的换元积分法分部积分法。 4、变上限函数的导数。 定积分概念与性质一、定积分问题举例 曲边梯形的面积曲边梯形 设函数yf(x)在区间[a b]上非负、连续 及曲线yf(x)所围成 的图形称为曲边梯形 其中曲线弧称为曲边 求曲边梯形的面积的近似值 将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替 每个小 曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似 具体方法是在区间[a b]中任意插入若干个分点 b]分成n个小区间 经过每一个分点作平行于y轴的直线段 把曲边梯形分成n 个窄曲边梯形 在每个小区间 把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A 的近似值 求曲边梯形的面积的精确值显然 分点越多、万博lol竞猜每个小曲边梯形越窄 所求得的曲边梯形面积A 的近似值就越接近曲边梯 形面积 的精确值因此 要求曲边梯形面积A 的精确值 只需无限地增加分点 使每个小曲边 于是上述增加分点 使每个小曲边梯形的宽度趋于零 相当于令 变速直线运动的路程设物体作直线运动 已知速度vv(t)是时间间隔[T 计算在这段时间内物体所经过的路程S 求近似路程我们把时间间隔[T ]分成n个小的时间间隔t 运动的距离近似为S 运动的距离加起来作为物体在时间间隔[T ]内所经过的路程S的近似值 具体做法是 在时间间隔[T ]分成n个小段 相应地在各段时间内物体经过的路程依次为 个时刻的速度得到部分路程S 于是这n段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S 的近似值 取上述和式的极限即得变速直线运动的路程 设函数yf(x)在区间[ab]上非负、万博lol竞猜连续 及曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积 (1)用分点ax 把区间[ab]分成n 个小区间 所求曲边梯形面积A的近似值为 设物体作直线运动已知速度vv(t)是时间间隔[T ]分成n个小时间 所求路程S的近似值为 二、定积分定义抛开上述问题的具体意义 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括 就抽象出下 述定积分的定义 定义 把区间[ab]分成n 个小区间 如果不论对[ab]怎样分法 也不论在小区间[x 总趋于确定的极限I这时我们称这个极限I 为函数f (x)在区间[a 的定积分记作 其中f(x)叫做被积函数 (x)dx叫做被积表达式 b]叫做积分区间定义 b]上有界用分点ax b]分成n个小区 上述和式的极限存在且极限值与区间[a 的取法无关则称这个极限为函数f(x)在区间[a b]上的定积分 记作 根据定积分的定义曲边梯形的面积为 变速直线运动的路程为dt 说明(1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关 而与积分变量的记法无关 通常称为f(x)的积分和 (3)如果函数f b]上的定积分存在我们就说f (x)在区间[a 函数f(x)在[ab]上满足什么条件时 (x)在区间[ab]上连续 (x)在区间[ab]上有界 且只有有限个间断点 在几何上表示由曲线yf(x)、两条直线xa、xb 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方 定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值 (x)既取得正值又取得负值时函数f(x)的图形某些部分在x 轴的上方 而其它部分在x 的下方如果我们对面积赋以正负号 轴下方的图形面积赋以负号 则在一般情形下 定积分 的几何意义为它是介于x 轴、函数f(x)的图形及两 之间的各部分面积的代数和用定积分的定义计算定积分 利用定义计算定积分dx 把区间[01]分成n 等份分点为和小区间长度为 利定积分的几何意义求积分:例2用定积分的几何意义求 函数y1x在区间[0 1]上的定积分是以y1x 1]为底的曲边梯形是一直角三角形其底边长及高均为1 kfdx 性质如果将积分区间分成两部分则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之 这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性值得注意的是不论a 成立例如 dxdx 证明因为 (定积分中值定理)如果函数 f(x)在闭区间[ab]上连续 则在积分区间[ab]上至少 存在一个点 使下式成立 这个公式叫做积分中值公式证明 由性质6 再由连续函数的介值定理在[ab]上至少存在一点 于是两端乘以ba得中值公式 积分中值公式的几何解释应注意 不论a

  b 积分中值公式都成立 微积分基本公式一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设物体从某定点开始作直线运动 ]内物体所经过的路程S可表示为 上式表明速度函数v(t)在区间[T 这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢?二、积分上限函数及其导数 设函数f(x)在区间[a b]上连续 并且设x 上的定积分dx 称为积分上限的函数它是区间[a b]上的函数 记为 如果函数f(x)在区间[ab]上连续 则函数 b]上具有导数并且它的导数为 limlim 如果函数f(x)在区间[ab]上连续 则函数 b]上的一个原函数定理的重要意义 一方面肯定了连续函数的原函数是存在的 另一方面初步地揭示了积分学 中的定积分与原函数之间的联系 三、牛顿莱布尼茨公式 定理 如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a b]上的一个原函数 此公式称为牛顿莱布尼茨公式也称为微积分基本公式 这是因为F(x)和(x) dt 证明已知函数F(x) 是连续函数f(x) 的一个原函数 又根据定理2 积分上限函数 也是f(x)的一个原函数于是有一常数C 10为了方便起见 可把F(b)F(a)记成 的一个原函数所以 的一个原函数所以 ln1ln 2ln 这图形是曲边梯形的一个特例它的面积 汽车以每小时36km速度行驶到某处需要减速停车设汽车以等加速度a5m/s 刹车问从开始刹车到停车 汽车走了多少距离? 36km/h3600 1000 36 m/s10m/s刹车后t 时刻汽车的速度为 当汽车停止时速度v(t)0 于是从开始刹车到停车汽车所走过的距离为11 dt 即在刹车后汽车需走过10m 才能停住 )内为单调增加函数证明 xfdt tfdx 这是一个零比零型未定式由罗必达法则 sinlim lim lim dxdu coscos 定积分的换元法和分部积分法一、换元积分法 定理 假设函数f(x)在区间[a b]上连续 函数x(t)满足条件 ])上具有连续导数且其值域不越出[a 则有dt 这个公式叫做定积分的换元公式证明 由假设知 b]上是连续因而是可积的 也是连续的因而是可积的 12 假设F(x)是f (x)的一个原函数 另一方面因为{F[(t)]}F 所以F[(t)]是f[(t)](t)的一个原函数 从而 dt 因此dt coscos cossin dxacos 计算xdx xsin cos xdxdx coscos sin cos xdxdx coscos sin cos sinsin dx sinsin sin sinsin sin 上cosxcos 上cosxcos 计算dx 证明因为 dx

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